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高中数学抛物线专项练习——抛物线(一) 北京家教网
来源：北师大家教网
高中数学抛物线专项练习
——抛物线(一) 北京家教网
北京家教网资料：抛物线专项练习——抛物线(一)
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为 （ ）
A．（1, 0） B．（2, 0） C．（3, 0） D．（－1, 0）
2．圆心在抛物线y 2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ）
A．x2+ y 2-x-2 y -
=0 B．x2+ y 2+x-2 y +1=0
=0 B．x2+ y 2+x-2 y +1=0C．x2+ y 2-x-2 y +1=0 D．x2+ y 2-x-2 y +=0
=03．抛物线
上一点到直线
的距离最短的点的坐标是 （ ）
上一点到直线的距离最短的点的坐标是 （ ）A．（1，1） B．（
） C．
D．（2，4）
） C． D．（2，4）4．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（ ）
A．
m B． 2m C．4.5m D．9m
m B． 2m C．4.5m D．9m5．平面内过点A（-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是 （ ）
A． y 2=－2x B． y 2=－4x C．y 2=－8x D．y 2=－16x
6．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是 （ ）
A． y 2=-2x B． y 2=-4x
C． y 2=2x D． y 2=-4x或y 2=-36x
7．过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|= （ ）
A．8 B．10 C．6 D．4
8．把与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线按向量a
平移，所得的曲线的方程是（ ）
平移，所得的曲线的方程是（ ）A．
B．
B．C．
D． 
D． 9．过点M（2，4）作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有 （ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
10．过抛物线y =ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则
等于 （ ）
等于 （ ）A．2a B． 
C．4a D． 
C．4a D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．抛物线y 2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4
，则焦点到AB的距离为 ．
，则焦点到AB的距离为 ．12．抛物线y =2x2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．
13．P是抛物线y 2=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q，点Q的坐标是 ．
14．抛物线的焦点为椭圆
的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 ．
的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 ．三、解答题（本大题共6小题，共76分）
15．已知动圆M与直线y =2相切，且与定圆C：
外切，求动圆圆心M的轨迹方程．(12分)
外切，求动圆圆心M的轨迹方程．(12分)16．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．（12分）
17．动直线y =a，与抛物线
相交于A点，动点B的坐标是
，求线段AB中点M的轨迹的方程．(12分)
相交于A点，动点B的坐标是，求线段AB中点M的轨迹的方程．(12分)18．河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？(12分)
19．如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=
，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．(14分)
，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．(14分)
20．已知抛物线
．过动点M（
，0）且斜率为1的直线
与该抛物线交于不同的两点A、B，
．
．过动点M（，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B，．（Ⅰ）求
的取值范围；
的取值范围；（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线交
轴于点N，求
面积的最大值．(14分)
轴于点N，求面积的最大值．(14分)参考答案
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
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题号
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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8
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9
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10
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答案
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A
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D
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A
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B
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C
|
B
|
A
|
C
|
C
|
C
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二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．2 12．
13．（1，0） 14．
13．（1，0） 14． 三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．（12分）[解析]：设动圆圆心为M（x，y），半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，以y=3为准线的一条抛物线，其方程为
．
．16． (12分)[解析]：设抛物线方程为
，则焦点F（
），由题意可得
，则焦点F（），由题意可得
，解之得
或
， 故所求的抛物线方程为
，
，17．（12分）[解析]：设M的坐标为（x，y），A（
，
），又B得 
，），又B得 
消去，得轨迹方程为
，即
，得轨迹方程为，即18．（12分）[解析]：如图建立直角坐标系，
设桥拱抛物线方程为，由题意可知，
，由题意可知，B（4，-5）在抛物线上，所以
，得
，
，得，当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA’，则A（
），由
得
，又知船面露出水面上部分高为0．75米，所以
=2米
），由得，又知船面露出水面上部分高为0．75米，所以=2米19．(14分) [解析]：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．由题意可知：曲线C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点．
设曲线段C的方程为
，
，其中
分别为A、B的横坐标，
．
分别为A、B的横坐标，．所以，
． 由
，
得
． 由，得
①
②联立①②解得
．将其代入①式并由p>0解得
，或
．
．将其代入①式并由p>0解得，或．因为△AMN为锐角三角形，所以
，故舍去． ∴p=4，
．
，故舍去． ∴p=4，．由点B在曲线段C上，得
．综上得曲线段C的方程为
．
．综上得曲线段C的方程为．20．(14分) [解析]：（Ⅰ）直线的方程为
，将
，
的方程为，将，得 
． 设直线与抛物线两个不同交点的坐标为
、
，
． 设直线与抛物线两个不同交点的坐标为、，则 
又
，
又，∴
． ∵
， ∴ 
． 解得 
．
． ∵， ∴ ． 解得 ． （Ⅱ）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为
，则由中点坐标公式，得
，则由中点坐标公式，得
， 
． ∴ 
． 又 
为等腰直角三角形，
． 又 为等腰直角三角形，∴ 
， ∴
， ∴ 即
面积最大值为
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