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高中数学20分钟专题突破14 北京一对一家教
来源：北师大家教网

高中数学20分钟专题突破14 

北京一对一家教

北京一对一家教资料：高中数学20分钟专题突破14
空间向量与立体几何
一.选择题
1．下列命题中，假命题是（     ）
（A）a、b是异面直线，则一定存在平面过a且与b平行
（B）若a、b是异面直线，则一定存在平面过a且与b垂直
（C）若a、b是异面直线，则一定存在平面与a、b所成角相等
（D）若a、b是异面直线，则一定存在平面与a、b的距离相等
2.下列命题中，真命题是（     ）
（A） 若直线m、n都平行于，则
（B） 设是直二面角，若直线则
（C） 若m、n在平面内的射影依次是一个点和一条直线，且，则或
（D） 若直线m、n是异面直线，，则n与相交
3．如果直线与平面满足：那么必有（     ）
（A）                    （B）
（C）                    （D）
4．设是两个不重合的平面，m和是两条不重合的直线，则的一个充分条件是（     ）
（A）且         （B）且
（C）且               （D）且
5．已知直二面角，直线直线且m、n均不与垂直，则（     ）
（A）m、n可能不垂直，但可能平行        （B）m、n可能垂直，但不可能平行
（C）m、n可能垂直，也可能平行          （D）m、n不可能垂直，也不可能平行
6．二面角是直二面角，如果∠ACF＝30那么（     ）
（A）                                （B）
（C）                                 （D）
二.填空题
1.13.已知正四棱锥P—ABCD的高为4，侧棱长与底面所成的角为，则该正四棱锥的侧面积是                   ．
2.已知、是三个互不重合的平面，是一条直线，给出下列四个命题：
①若，则；               ②若，则；
③若上有两个点到的距离相等，则； ④若，则。
   其中正确命题的序号是          
3.正三棱锥高为2，侧棱与底面成角，则点A到侧面的距离是     
三.解答题
如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.
（Ⅰ）证明：AE⊥PD;
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值.
答案：
一.选择题
1.选B      2.选C       3.选A      4选C      5.选A       6.选D
二.填空题
1.         2. ②④       3.
三.解答题
（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.
因为      E为BC的中点，所以AE⊥BC.
又   BC∥AD，因此AE⊥AD.
因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.
而    PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，
所以  AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.
所以 AE⊥PD.
（Ⅱ）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.
由（Ⅰ）知   AE⊥平面PAD，
则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.
在Rt△EAH中，AE=，
所以 当AH最短时，∠EHA最大，
即     当AH⊥PD时，∠EHA最大.
此时    tan∠EHA=
因此   AH=又AD=2，所以∠ADH=45°，.
所以    PA=2.
解法一：因为   PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，
所以   平面PAC⊥平面ABCD.
过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，
过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，
在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=，AO=AE·cos30°=,
又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°=,
又    
在Rt△ESO中，cos∠ESO=
即所求二面角的余弦值为
解法二：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以E、F分别为BC、PC的中点，所以
A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），
D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），
所以    
设平面AEF的一法向量为
则      因此
取
因为  BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，
所以   BD⊥平面AFC，
故     为平面AFC的一法向量.
又     （-），=
所以  cos＜m, ＞=
因为   二面角E-AF-C为锐角，

所以所求二面角的余弦值为

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